Určení polohy bez přístrojů
19. srpna 2013 | Stroje a přístroje

Chladný vzduch mně udeřil do tváře. Vyvedli mně z letištní haly a po pár krocích jsem pod nohama nahmatal schůdky do letadla. "Nastup si, dělej," pobízel mně vysoký mužský hlas. Měl jsem stále zavázané oči a s obtížemi jsem doklopýtal nahoru. Usadili mně do pohodlného koženého křesla a dveře letadla se zavřely. "Aspoň, že poletím business class," pomyslel jsem si a vzápětí usnul.

Probudil mně zpětný tah motorů. Rolovali jsme po hrbolaté přistávací dráze a po chvíli zastavili. Kde to jsme? Mohl jsem spát hodinu, nebo taky deset. Unavený jsem na to byl dost. Dveře letadla se otevřely a vyvedli mně ven. Vzduch voněl mořem, bylo příjemné teplo. Posadili mně do auta a dobrou hodinu jsme jeli klikatými silnicemi, zřejmě do hor. Pak řidič zastavil a vypnul motor. Vystoupil jsem z vozu a někdo mi konečně sundal z hlavy pásku. Ostré světlo mně bodalo do očí. Stáli jsme u malého domu obehnaného plotem z ostnaného drátu. Kolem byla travnatá pláň, vzadu les. Dům byl postaven z prefabrikovaných dřevěných dílců, kolem plotu pochodovali strážní se samopaly.

"Kde to jsme?", zeptal jsem se muže, který mi sundal z očí pásku. "Neptej se. Brzy na tebe dojde řada," odbyl mně. Vešli jsme do domu. Ukázali mi můj pokoj. Byl zařízen skromně, ale účelně - postel, stolek, umyvadlo, šatní skříň. Nechali mně o samotě. Prozkoumal jsem zařízení pokoje, pak jsem vyšel ven před dům. Nikdo mně nezadržel. Mohl jsem se volně pohybovat až k plotu. Snažil jsem se najít nějaké indicie, které by mi napověděly, kde se nacházím, ale marně. Nábytek byl z Ikey. Prefabrikovaný dům kdoví odkud. Strážní mezi sebou mluvili lámanou angličtinou a zjevně pocházeli každý odjinud. Okolní příroda mi nic nepřipomínala.

Nevím, proč mně unesli, ani co se mnou zamýšlejí. Třeba najdu způsob, jak o sobě dát vědět domů.

Nejdříve však musím zjistit, kde jsem.

Ale jak to udělat? S jakou přesností může člověk bez přístrojů zjistit svoji polohu? Příběh výše je fiktivní, ale co kdyby? Rozhodl jsem se vyzkoušet zjišťování polohy v praxi.

Začít je potřeba skutečně od píky. Nacházím se na severní, nebo na jižní polokouli? Odpověď mi dá noční obloha. Na severní polokouli je vidět Polárka, na jižní ne. Polárku mohu použít i k hrubému odhadu zeměpisné šířky. Úhel, pod kterým vidím Polárku nad obzorem, je roven mé zeměpisné šířce. Čím přesněji jej změřím, tím přesnější bude můj odhad.

Obrázek převzat z webu Štefánikovy hvězdárny.

V noci jsem provedl pokusné měření výšky hvězd nad obzorem. K měření jsem použil jen svou ruku, kterou jsem nakláněl a odhadoval úhel vůči obzoru. Vybíral jsem hvězdy v různých výškách, od obzoru až k nadhlavníku. Průměrná chyba měření byla 9 stupňů.

Odhad výšky nebeských těles - 17. srpna 2013
ObjektČas (SLČ)Odhad (°)Skutečná výška (°)Rozdíl (°)
Měsíc21:00352015
Arkturus22:10453312
Merak22:10402812
Altair22:1055487
Deneb22:1070655
Vega22:1085823
Průměrná odchylka9

Podobné měření lze provést i na jižní polokouli. Tam však není žádná jasná hvězda nacházejícící se poblíž jižního nebeského pólu. Polohu pólu na obloze zjistíme podle jiných hvězd, podobně jako na severní polokouli nacházíme Polárku podle Velkého vozu.

Obrázek převzat z webu Sydneyské observatoře.

Takže už vím, na které polokouli se nacházím a znám i přibližnou zeměpisnou šířku. Svou možnou polohu jsem zredukoval na 5 až 10 procent zemského povrchu (ve skutečnosti ještě méně, pokud odečtu povrch oceánu)

Poloha podle odhadu výšky Polárky

Mezitím se rozednělo a na pomoc mi přispěchalo Slunce. Pokud se mi podaří změřit výšku Slunce nad obzorem během lokálního poledne (to je okamžik, kdy je Slunce na obloze nejvýše a míří přesně na jih), získám svou zeměpisnou šířku podle vzorce

kde φ je zeměpisná šířka, α je výška slunce nad obzorem ve stupních a δ je aktuální deklinace slunce.

Deklinaci (kladnou či zápornou) přičítáme, pokud se nacházíme na stejné polokouli jako je slunce a odečítáme, pokud jsme na polokouli opačné. Na severní polokouli to znamená, že deklinaci přičítáme od jarní do podzimní rovnodennosti.

Deklinace slunce je +23.4 stupňů (severně)(dobře se pamatuje 2 - 3 - 4) v okamžiku letního slunovratu -23.4 stupňů (jižně) v okamžiku zimního slunovratu. Během jarní a podzimní rovnodennosti je nula. Mezitím se pohybuje po sinusové křivce.

Nakreslil jsem si od oka na papír sinusovou křivku a pokusil se najít hodnotu sluneční deklinace pro dnešní den (psáno 14. srpna). Vyšlo mi 16.1°, skutečná hodnota je 14.55°. Rozdíl je asi 1.5° - zhruba desetiprocentní chyba. Bez pravítka či dalších pomůcek, jen s papírem a tužkou.

Odhad deklinace slunce

Zbývá nalézt výšku slunce nad obzorem během lokálního poledne. Lze použít jakýkoli předmět, u kterého lze určit výšku (sloupek, značka, zídka) a změřit délku jeho stínu v okamžiku, kdy je stín nejkratší. Z naměřené délky stínu a výšky objektu, který stín vrhá, můžeme vypočítat úhel slunce nad obzorem:

kde α je úhel slunce nad obzorem, v je výška objektu vrhajícího stín a d je délka stínu.

Okolo poledne se délka stínu příliš nemění, máme tedy dost času provést měření. Poměr výšky sloupku ku délce stínu jsem za pomocí provázku určil jako ≈ 12 : 8 = 1,5 .

Můj měřící sloupek

Jak ale bez tabulek a kalkulačky spočítat arkustangens? Jde to, i když to na první pohled vypadá dosti složitě. Když si však pozorně přečtete následující text, zjistíte, že to zase tak složité není.

Arkustangens lze vypočítat součtem členů Taylorovy řady, která vypadá takto

Všimli jste si, jak se pravidelně střídá plus a mínus a že jednotlivé členy obsahují v exponentu i děliteli lichá čísla 1, 3, 5 ,7, 9, ...?

Řada konverguje pro |x| < 1 a výsledek je v radiánech.

Postup pro vypočtení úhlu z poměru odvěsen pak vypadá takto:

  1. Pokud je poměr stran blízký jedné (zhruba od 0,9 do 1,1), řada by nám konvergovala příliš pomalu. Úhel proto stanovíme na ≈ 45° a smíříme se s větší chybou.
  2. Pokud je poměr stran větší než jedna, řada by nám divergovala. Budeme počítat s převráceným poměrem stran:

    a výsledný úhel odečteme od devadesáti stupňů (pokud se vám to nezdá, nakreslete si pravoúhlý trojúhelník a uvidíte).

  3. Počítáme jednotlivé členy řady. Pokud nám stačí přesnost do jednoho úhlového stupně, spočítáme pro argumenty menší než 0,75 tři členy posloupnosti, pro argumenty do 0,9 pět členů.
  4. Výsledný úhel převedeme z radiánů na stupně

    a pokud jsme počítali s převráceným poměrem, odečteme jej od 90 stupňů.

Musím říci, že jsem od základní školy neprovedl tolik výpočtů na papíře, jako při počítání této řady. A to jsem se omezil na pouhé tři členy! Úhel mi vyšel 55,6°. Zeměpisná šířka je pak 50.5°, což se liší o 4.3°, neboli cca 470km od skutečnosti.

Poloha metodou nejkratšího slunečního stínu

Přesnost se oproti odhadu výšky polárky zvýšila dvakrát, za cenu poměrně složitých výpočtů. Chyba odhadu deklinace a určení výšky slunce se v mém případě sčítala, typická chyba by tedy mohla být menší.

Omezujícím faktorem je zejména odhad deklinace, který je z ručně kreslené křivky zatížen významnou chybou. V úvahu by přicházelo čistě geometrické řešení na velké kružnici, ale co by na to řekli strážci?

Zeměpisnou šířku jsme tedy v rámci možností zjistili. Ale co zeměpisná délka? Tady už se bez přístrojů neobejdeme. Naštěstí není potřeba kdovíjakých složitostí, postačí nám náramkové hodinky. Ty mi věznitelé nechali a já toho hned využiji.

Zeměpisná délka je rozdíl mezi okamžikem, kdy je poledne na místě, kde se nacházím a okamžikem, kdy je poledne na nultém poledníku v Greenwichi. Jeden úhlový stupeň délky za každé čtyři minuty rozdílu. Vyjádřeno vzorečkem:

kde λ je zeměpisná šířka ve stupních, tUTC je standardní čas v okamžiku, kdy nastane lokální poledne (převedený na minuty) a Δt je aktuální hodnota rovnice času. O rovnici času si povíme později, zatím ji zanedbáme.

Musím tedy zjistit, kdy je u mně lokální poledne. Pak se podívám, jaky čas mám na hodinkách, převedu jej na UTC (Greenwhichský čas) a odečtu od dvanácti hodin. Převedu na minuty a vydělím čtyřmi. Prosté, milý watsone.

Okolo poledne se výška Slunce mění velmi pomalu a určit přesný okamžik lokálního poledne podle délky stínu je obtížné. Pro první odhad to však stačí. Při svém měření jsem poledne odhadl na 13:20 SLČ, zeměpisná délka pak vychází na 10°. Chyba je 4°, neboli cca 300 km.

Poloha odhadem okamžiku místního poledne

Hurá! S provázkem, hodinkami, tužkou a papírem jsem omezil svou možnou polohu na jednu tisícinu zemského povrchu. Dokážu to ještě přesněji? Určitě. Pokusím se určit svou zeměpisnou délku ze dvou měření Slunce.

Myšlenka je taková, že pokud zjistím, v kolik hodin dosáhlo Slunce určité výšky dopoledne, když stoupalo k zenitu a pak v kolik hodin dosáhlo stejné výšky odpoledne, když klesalo k obzoru, přesně uprostřed mezi těmito dvěma časovými okamžiky se nachází místní poledne. Čím větší je rozdíl mezi měřeními, tím přesnější bude výsledek.

Pomocí provázku jsem změřil délku stínu, když mi hodinky ukazovaly 10:00 a pak odpoledne netrpělivě vyčkával, až se Slunce dostane na stejnou úroveň. Bylo to v 17:10, místní poledne je tedy v 13:35, zeměpisná délka 6.25°, což je téměř přesně.

Kouzelný dědeček

Nestává se to často, ale připusťme si, že se může z ničeho nic objevit kouzelný dědeček a pomoci nám v našem počínání. V mém případě sebou přinesl následující obrázek:

Analemma

Je na něm analemma a umožňuje odečíst sluneční deklinaci a hodnotu rovnice času pro každý den v roce. Můžete si ji stáhnout v plném rozlišení zde.

Rovnice času říká, o kolik se slunce předbíhá či zpožďuje oproti standardnímu času v důsledku excentricity dráhy Země kolem Slunce a natočení zemské osy. Jejím dosazením do vzorce pro výpočet zeměpisné délky získáme mnohem přesnější údaj, zvláště v těch obdobích roku, kdy je hodnota rovnice času vysoká. Stejně tak odečtením deklinace z analemmy se zpřesní výpočet zeměpisné šířky o více než dvě stě kilometrů.

Kouzelný dědeček 2

Jakkoli je to nepravděpodobné, kouzelný dědeček se u mně objevil ještě jednou. Tentokrát přinesl nautický almanach a tabulky pro přepočet pozorování sextantem. Nevím, proč mi nepřinesl rovnou i ten sextant?

Provedl jsem opět sadu měření na svém měřícím sloupku a tentokrát jsem si na pomoc vzal i metr. Metodou interceptu jsem vypočítal polohu a vyšla mi s přesností 40 kilometrů od mé skutečné polohy.

Závěr

Za pomocí hodinek, provázku, tužky a papíru jsem byl schopen zjistit svou zeměpisnou polohu s přesností 300 až 500 kilometrů. Této přesnosti lze dosáhnout kdekoli na světě při použití určitých matematických a astronomických znalostí, které je v lidských silách si zapamatovat.

Pokud bych měl k dispozici přesné hodnoty deklinace slunce a rovnice času (například z grafu analemmy, který by mi náhodou zůstal v kapse :-), vzroste přesnost více než dvojnásobně.

Nejpracnější úlohou byl výpočet arkustangensu, který je nutný pro převod sklonu na úhel v trojúhelníku tvořeného stínem a předmětem stín vrhajícím. Alternativní metodou, při které by se pracovalo rovnou s úhly, by bylo vyrobit si jakousi obdobu námořního astolábu, ale to už hraničí s použitím přístrojů. Výhodou astrolábu je, že jej lze použít i na rozhoupané vodní hladině.

Určení polohy bez přístrojů

Maják

Pravý čas

Jeskyně Ponora

Omarova vlaštovka

Shapeways

Dům strom

Kroupové rizoto s mrkví restovanou na másle

Výpravy na jednu noc

Hrachová polévka s fermentovanou sójou

Granola

Noc na jezeře

Sladkokyselá rýže ( známá také jako suši )

Sjezd Arvy

Nejpracnější kafe na světě

E jako úhoř

Banánový chleba

Marináda na pekingskou kachnu

Kopřivová kaše s gratinovanými topinambury a čekankovým salátem

Vylodění na pusté pláži

Podzimní bašta

Dnes ráno

Kapusta po Vračansku

Těstoviny s lískovými oříšky a něčím jako rapini

Zelný salát se sezamovou zálivkou

Putování s oslíkem

Na střeše

Grenairon

Tanec v dešti

Kalhoty

Ryba vařená v bouillabaise se šafránovou majonézou a opečenou houskou, k tomu gratinovaný fenykl a bramborová kaše

Ranní setkání

Smrže

Bramborové noky s pestem z medvědího česneku

Medvědí česnek podruhé - krémová polévka

Španělská tortilla s medvědím česnekem

Za přechodem

Auto, které letos v zimě viděl každý

Vhled do okna

Zimní salát

Pohádka

Tlaková níže

crab ice postrach ulice - cesta do města

Íjů

Nové věci na Krabici

Microadventure: S kolem přes jezero

Opět na severu

Oční optika

Špicberky

Microadventure: Noční pochod

Microadventure: Městský bivak

Poděkování mému kvásku

Nedělní návštěva

Karbanátky z manioku, vodnice a lilku

Comment t'a passé ta journée?

Kafe z pampeliškového kořene

Partyzánský záhonek

Klaud

Kopren

Žula je žula

Středa

Bodlák s kaštany

Oceán

Uzený úhoř na medu se zelenou čočkou

crab ice

Mušle na grilu z jehličí

Večerní amatérská archeologie

Indie

Naše první jachta

La bise - ledový polibek severního větru

Valée Blanche

Bivak l'Aire

V Černém lese

Vánoční projížďka

Artyčok kardový

Fotky přes celou obrazovku

Salanfe

Omalovánky

Podzim nad Bionnasay

Podzimní stanování

Pirátský útok na Alpy

Saas

S kolem na vodě

Velká balkánská cesta

Houmpejč

Pečená kachní prsa s cipolle borettane

Camargue

Gratinovaný černý kořen

Petroselinum crispum

Kohout na víně přes propast věků

O Nelsonu

Sopka

Cesta na konec světa - díl V. - Jak se stopuje letadlo

Cesta na konec světa - díl IV. - Na Nelsonu

Cesta na konec světa - díl III. - Přes ostrov

Cesta na konec světa - díl II. - Odlet do Antarktidy

Cesta na konec světa - díl I. - Patagonie a Ohňová země

Krůtí ragú na Marsale, šalvěji a hříbkách se smaženou polentou

Dnes ráno

Procházka po městě

Zapékaná dýně na šalvěji s posypkou z vlašských ořechů

Domaine de Châteauvieux (★★ Michelin, 19 GaultMillau)

Číhání na Iridiové prasátko

Mont Buet

Vodní jóga

Quatres quarts - bábovka ze čtyř čtvrtek

Jak fotíme?

Thermius

Přes jezero

Innská zahrádka

Jak jsme fandili

Grilovaná ryba se smaženou bílou polentou a parmazánovou pěnou

Jak pojmenovat svou jachtu?

Mořský okoun se štičími knedlíčky v račí omáčce

Salát s plátky sušených kachních prsou

La Garde-Guérin

Cascades du Hérisson

Slaměný vdovec

Vierwaldstättersee

Tartiflette

Quiberon

Recept na pleťový krém

Пелъмени

V balónu

Nemůžu se nasytit

Pissaladière

Začátečník

Choroš

Opožděná novoroční večeře

Dobrodružství Fakofa a Šitabouta I

Vánoce

Zimní vaření

Přijela tramvaj!

České pivo v cizozemském obchodě

Pondělní chvilka poezie

Poznámky od plotny

Zima přišla

Blanquette de veau

Jezerní pstruh s houbovou omáčkou na ryzlinku a zeleninou vařenou v páře

Děda a vnuk

Stránky o Islandu

Tuňák tandoori se smaženými plátky cukety

Zermatt

Island

Divotvorný hrnec

A se mnou příjde zákon!

Sucha

Senegalské mafé s batátovým a špenátovým karí

Solární balón vypuštěn

Crossover Bangalore se slivovicí

Není diplomat jako diplomat

Lečo enhanced

Hovězí s křenovou omáčkou, pečenými jablky a šafránovou rýží

Dents du Midi

Před deštěm

Svět v roce 2050

Jak na chřest

Francouzská cibulačka

Solární balón opět zasahuje

Dva příběhy

Piknik v Minerve

Špagety s uzeným lososem a kaviárem

Kohout na víně

Gól!

Moudro pro dnešní den

Pečené kuře s barbeque omáčkou

Solární horkovzdušný balón

Trumf

Papet vaudoise

Celerová polévka s modrým sýrem

Některé cedry

Vítr z Loun

Petra a David z Akropole

Černé díry za barákem

Perličky z víkendu

Jak udělat z hory kopec

Vodní lampióny

Pivo a věž

Příběh opravdového serveru

Ufo nad Bílou horou

Vepdvanula

Sezónní stěhování

Etuda o oku vševidoucím

Crack Dealer Only Tenant Landlord Can Depend On For Rent

Jan Roček

Google Notebook

Pro pořádek

O cestujícím foťáku

Norsko jako obrázek

Norské speciality

Výlet

Sluneční hodiny

Rakytník řešetlákový

Pepřenka

Le Lignon

Alpské panorama

Chavalon

Château d'Œx

Mont Vorassay

Plastické mapy

Projížďka vlakem

Automat na domácí mléko

17+1

Staré struny nerezaví

Smažák

Stabilita

Etuda o nedělním obědě

Už třetí týden žiju v Pákistánu

Od parku k parku

Zion

Las Vegas

Norfolk

Poskakování po Americe

Jůesej

Hlídání koryt.

Hotýlek ve stínu hor

Rozpuštěný a vypuštěný

Večeře

Máte nějakou nebezpečnou myšlenku? II.

Inverze

Máte nějakou nebezpečnou myšlenku?

Prosincová

Hrátky se světlem v tmavém pokoji

Konec internetu

Kdybychom neměli počítače, museli bychom si je vymyslet

Diakritická znaménka v angličtině

Afroninja!

Úvod do politiky pro děti

Rootkit à la Sony

Krása kulinářské jednoduchosti

Jak jsem jel do Berlína a skončil v Norsku

Tajemství švýcarského hospodářského zázraku odhaleno!

Bionnassay

Cesta po Skandinávii

Les Calanques

Pod Mont Blankem

King size a Vaterland

Bratrstvo kočičí pracky

Letištní

Maďarština

Beskydy nasáklé vodou

The rise of nuns

V zeleném údolí

SMS proti morseovce

Zanořili jsme se

Co den dal

Nová doba

Můj notebook má telefonní číslo

Caps Lock deCapitated

Segway

Páternoster

Pohledy ze střechy našeho světa

Nejpopulárnější slova

Groteska

Až budou v Čechách žít Číňani

Antihokejisti

RSS kanál

IT doesn't matter

Úřednické dovednosti

Letecké safari

Mistrovství v životě bez dudlíku

Předjaří

Staré vůně

Český národní sport

Vzpoura ledničky

V knihkupectví

Musí to tak být ...

Ohře a Soos

Bydlím, bydlíš, bydlíme

Čelní srážka se systémem

Alšova vyhlídka

Mokrá Paříž

Prstem po mapě

Inaugurační řeč

Tuneři

Konverzace o konzervaci

Podzimní procházka

Vinobraní

QWERTY? QWERTZ? AZERTY! ЙЦУКЕН! ضصثقفغ!

Okokolo Kokořína

Éčka

Jesenická

Podzimní hory

Pod vodou

Gmail podruhé

Utopie

Střípky z cest

Podvodní okno

Hezky

Barevně a černobíle

Balada o domu a stromu

Proč Gmail narazil

Dvakrát z Prahy

Rádiová bublina

Verisimilitude

Paříž

Ve dne v noci Masaryk

Krása ošklivosti

Evropa

Piešťany

Na Baltu

I'm not feeling lucky

Půlmaraton

Trifon Zarezan

Vady vína

Notes is back!

O svátcích

Master and Commander

Anonymně

Okolo Štěchovic

Když je na podzim zima

Freediving

Manikúra

Budapešť

Dubina

Rychlá noha, líná hlava

Koncert

Mann, Bradley, Hughes

Čína v Rudolfinu

Alebo áno, alebo nie

Je tma

Vinná zpráva

Sneaker Pimps

Hrabě Šándor

Fotokroky

Terminátor 3

Po stopách zmizelých železnic

Hanibal a 40 kilowattů

Tour de Sázava

55:19

Na Ohři

Osm kilometrů

Carrefuj

Granátovka obecná

Burčák

Psi

Podzim

Lenivé nedělní odpoledne

Foťák

Nuda v Brně

Modrá není dobrá

Muka obraznosti

Hurá na to!